Supremum & Infimum

Έννοια, ορισμός και χαρακτηρισμός

Η έννοια του supremum

Υπάρχουν σύνολα πραγματικών αριθμών, που δεν έχουν κάποιο μέγιστο στοιχείο, χωρίς τα στοιχεία τους να γίνονται απείρως μεγάλα.

Συγκεκριμένα, φαίνεται οι αριθμοί του συνόλου να πλησιάζουν κάποιο "μέγιστο στοιχείο", το οποίο όμως δεν περιέχεται μέσα στο σύνολο.

Θέλουμε να περιγράψουμε αυτό το "μεγαλύτερο όριο", το οποίο πλησιάζουν τα στοιχεία του συνόλου.

Ερώτηση: Ποιο φαίνεται να είναι το supremum του συνόλου των μπλε σημείων;

Διαφορά με το maximum

Η παραδοσιακή έννοια του μέγιστου στοιχείου (maximum) δεν λειτουργεί εδώ: Το maximum είναι το μεγαλύτερο στοιχείο του συνόλου.

Το συγκεκριμένο σύνολο, όμως, δεν έχει κανένα στοιχείο που να είναι μεγαλύτερο από όλα τα υπόλοιπα.

Όποιο στοιχείο του συνόλου και να επιλέξουμε, θα υπάρχει πάντα κάποιο μεγαλύτερο. i Kαι συνεπώς αυτό το τυχαίο στοιχείο που επιλέξαμε δεν είναι το maximum. Έτσι αποδεικνύουμε ότι το σύνολο δεν έχει μέγιστο στοιχείο.

Άσκηση Ζωγράφισε σε ένα χαρτί ένα παρόμοιο σχήμα που να εξηγεί οπτικά την έννοια του infimum αντί του supremum.

Ορισμός του supremum

Πώς μπορούμε να περιγράψουμε καλύτερα τι είναι αυτό το supremum;

Ένας τρόπος να το εξηγήσουμε σε μεγαλύτερο βάθος είναι να πούμε ότι είναι το αποτέλεσμα της ακόλουθης κίνησης:

Ξεκινάμε από τα δεξιά ("από το $+\infty$") και προχωράμε προς τα αριστερά, μέχρι να μην μπορούμε να προχωρήσουμε άλλο χωρίς να διασταυρωθούμε με στοιχεία του συνόλου. Είναι σαν τα σημεία του συνόλου να είναι τοίχοι που σταματάνε την πορεία μας προς τα αριστερά. Το σημείο στο οποίο σταματάμε είναι το supremum.

Αυστηροποίηση του Ορισμού

Οι αριθμοί από τους οποίους περνάμε μέχρι να σταματήσουμε στο supremum, είναι οι αριθμοί που βρίσκονται πιο δεξιά από ολόκληρο το σύνολο.

Αυτοί οι αριθμοί, που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι από όλους τους αριθμούς του συνόλου, λέγονται άνω φράγματα του συνόλου. Είναι ουσιαστικά οι αριθμοί που, αν τους προσθέταμε στο σύνολο, θα γίνονταν το maximum του συνόλου.

Το supremum, λοιπόν, είναι ο ελάχιστος από αυτούς τους αριθμούς. Είναι το minimum των άνω φραγμάτων (το "ελάχιστο άνω φράγμα").

Άσκηση Γράψε έναν αντίστοιχο ορισμό για το infimum.

Για σύνολα με maximum

Φυσικά, ένα σύνολο μπορεί να είναι πιο απλό και να έχει maximum.

Σε αυτήν την περίπτωση, το maximum είναι άνω φράγμα (γιατί στον ορισμό του άνω φράγματος είπαμε ότι πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από κάθε στοιχείο του συνόλου).

Επιπλέον, είναι το μικρότερο από όλα τα κάτω φράγματα. ? Γιατί δεν μπορεί κάποιος μικρότερος αριθμός να είναι κάτω φράγμα;

Γι' αυτόν το λόγο, το maximum είναι το supremum.

Χαρακτηρισμός

Ένας άλλος τρόπος να ορίσουμε το supremum είναι ως το άνω φράγμα που βρίσκεται "απείρως κοντά" σε στοιχεία του συνόλου.

Πώς μπορούμε να περιγράψουμε αυτό το "απείρως κοντά σε στοιχεία του συνόλου";

Χαρακτηρισμός - Αυστηροποίηση

Μπορούμε να πούμε ότι αν θεωρήσουμε ένα διάστημα αριστερά του supremum, όσο μικρό και αν είναι, θα πρέπει να περιέχει στοιχεία του συνόλου.

Με άλλα λόγια, όποιο μήκος (ας το ονομάσουμε έψιλον) κι αν επιλέξουμε για το διάστημά μας, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του συνόλου που περιέχεται μέσα στο διάστημα.

$$ \forall \epsilon >0: \exists \alpha \in A: \alpha \in (x - \epsilon, x] $$ (όπου Α είναι το όνομα του συνόλου και x είναι το supremum του A: $x=\sup(A)$ )
Ή ισοδύναμα: $$ \forall \epsilon >0: \exists \alpha \in A: x - \epsilon < \alpha \le x $$

Αν το σύνολο έχει maximum

Στην περίπτωση που το σύνολο έχει maximum, μια φυσική κίνηση είναι να ορίσουμε το supremum ως το μέγιστο στοιχείο του συνόλου.

Ας δούμε τον δεύτερο ορισμό (τον "χαρακτηρισμό") που δώσαμε για το supremum: Το supremum είναι το άνω φράγμα x που ικανοποιεί ότι $$ \forall \epsilon >0: \exists \alpha \in A: \alpha \in (x - \epsilon, x] $$

Σημαντική Άσκηση Έστω ότι το Α έχει maximum. Ποια λεπτομέρεια στον ορισμό κάνει το supremum να είναι ίσο με το maximum;

Ορισμός vs Χαρακτηρισμός

Τι είναι ο χαρακτηρισμός

Όπως είδαμε, υπάρχουν δύο δυνατοί ορισμοί που φαίνεται να αυστηροποιούν την ίδια έννοια.

Ωστόσο, για να είναι η έννοια συγκεκριμένη, θα πρέπει να έχει έναν μόνο ορισμό.

Επιλέγουμε να χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο υποψήφιο ορισμό: το supremum είναι το ελάχιστο από τα άνω φράγματα. i Βέβαια δεν έχουμε αποδείξει ότι το σύνολο των άνω φραγμάτων έχει ελάχιστο στοιχείο. Επομένως είναι ανοιχτό το ενδεχόμενο να μην ορίζεται το supremum (και συμβαίνει πράγματι σε κάποιες περιπτώσεις!).

Τότε, ο δεύτερος ορισμός, αν πράγματι περιγράφει ακριβώς την ίδια έννοια, θα πρέπει να είναι ισοδύναμος.

Όποτε ένας αριθμός είναι supremum (με βάση τον πρώτο ορισμό), θα είναι supremum και με βάση τον δεύτερο ορισμό.
Κι επίσης όποτε ένας αριθμός ικανοποιεί τον δεύτερο ορισμό, θα είναι supremum και με βάση τον πρώτο ορισμό. ? Γιατί χρειάζεται να τσεκάρουμε και τις δύο κατευθύνσεις;

Ένας τέτοιος εναλλακτικός, "δεύτερος ορισμός", που είναι ισοδύναμος με τον ορισμό που χρησιμοποιούμε, ονομάζεται χαρακτηρισμός.

Απόδειξη Χαρακτηρισμού

Έστω ότι το x είναι το sup(A), για ένα σύνολο A $\subset \mathbb{R}$ (δηλαδή το ελάχιστο άνω φράγμα).

Τότε ικανοποιεί τον χαρακτηρισμό.

Απόδειξη:
Για να ικανοποιεί τον χαρακτηρισμό, πρέπει για κάθε $\epsilon > 0$ να υπάρχει ένα $\alpha \in A$ με $\sup(A)-\epsilon < \alpha \le \sup(A)$.
(Το $\alpha$ που επιλέγουμε για κάθε μία τιμή του $\epsilon$ μπορεί να είναι διαφορετικό!)

Ας θεωρήσουμε ένα τυχαίο $\epsilon > 0$. Γιατί θα υπάρχει ένα στοιχείο του A μέσα στο $(\sup(A)-\epsilon, \sup(A)]$;

Το μόνο που μπορεί να μας βοηθήσει είναι ο ορισμός. Γνωρίζουμε ότι το sup(A) είναι το ελάχιστο άνω φράγμα. Το γεγονός ότι είναι άνω φράγμα μας λέει ότι τα στοιχεία του Α είναι στο $(-\infty, \sup(A)]$. i Από την άλλη, στο σχήμα δεν υπάρχει και κανένα άλλο άνω φράγμα. Επομένως το γεγονός ότι είναι το ελάχιστο άνω φράγμα φαίνεται να μας είναι άχρηστο...

Απόδειξη Χαρακτηρισμού (Cont.)

Απόδειξη Χαρακτηρισμού

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι κάποιο από τα στοιχεία είναι και μεγαλύτερο από το $\sup(A)-\epsilon$ (ώστε να βρίσκεται μέσα στο $(\sup(A) - \epsilon, \ \sup(A)]$).

Είναι δύσκολο να εξηγήσουμε γιατί θα συμβαίνει αυτό με βάση το σχήμα. Σκέψου λίγο πώς θα προσπαθούσες να το εξηγήσεις εσύ σε κάποιον...

Η πιο λογική συνέχεια της επιχειρηματολογίας είναι ότι, αν δεν υπήρχε κανένα στοιχείο του Α μέσα στο $(\sup(A) - \epsilon, \ \sup(A)]$, τότε το sup(A) δεν θα μπορούσε να είναι το supremum.

Με αυτόν τον συλλογισμό κάνουμε μια απαγωγή σε άτοπο! i Γενικώς, συμβαίνει μερικές φορές να έχουμε ένα σχήμα που φαίνεται προφανώς σωστό αλλά δεν βρίσκουμε κανένα επιχείρημα ως προς το γιατί είναι σωστό. Αυτό είναι ένα σημάδι ότι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε απαγωγή σε άτοπο!

Γενικά, με την απαγωγή σε άτοπο, αποκτάμε ένα νέο σχήμα, το οποίο είναι λάθος. Και θέλουμε να εξηγήσουμε τον λόγο που είναι λάθος!

Άσκηση Ολοκλήρωσε την απόδειξη (μένει η ολοκλήρωση του συλλογισμού και η αυστηροποίηση των επιχειρημάτων).

Τελική Απόδειξη

Ύστερα από την ολοκλήρωση των συλλογισμών και την αυστηροποίηση, καταλήγουμε στην ακόλουθη απόδειξη:

Έστω $\epsilon > 0$.

Αφού το $\sup(A)$ είναι άνω φράγμα, κάθε στοιχείο του $A$ είναι μικρότερο ή ίσο του $\sup(A)$. (1)

Έστω (προς άτοπο) ότι κανένα $\alpha \in A$ δεν είναι μεγαλύτερο από $\sup(A) - \epsilon$.

Δηλαδή $\forall \alpha \in A: \alpha \le \sup(A) - \epsilon$.

Τότε το $\sup(A) - \epsilon$ είναι άνω φράγμα του $A$, κάτι το οποίο αντιβαίνει στον ορισμό του supremum, καθώς $\sup(A) - \epsilon < \sup(A)$.

Επομένως, αναγκαστικά $\exists \alpha \in A: \alpha > \sup(A) - \epsilon$, που μαζί με το (1) ολοκληρώνει την απόδειξη.

i Η απόδειξη αυτή δεν είναι τέλεια γραμμένη, αλλά είναι, θα λέγαμε, ικανοποιητική.

Συμπέρασμα

Κατανόηση της Απόδειξης

Είναι σημαντικό να πάρεις τον χρόνο να καταλάβεις αυτήν την απόδειξη. Αυτό σημαίνει:

Να καταλαβαίνεις ποια βήματα κάνουμε σε επίπεδο σχημάτων.
Να καταλαβαίνεις γιατί το κάθε βήμα είναι λογικό.

Θα δεις ότι τα βήματα δεν είναι τόσο πολλά και προκύπτουν πολύ λογικά, αν ξέρουμε τι έχουμε δεδομένο και πού θέλουμε να πάμε.

Και κάπως έτσι φτάνεις στην πρώτη σου πραγματικά ολοκληρωμένη επαφή με μια απόδειξη!